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6月15日，云顶老虎机 程星副教授在国际著名期刊《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》（纯粹与应用数学杂志） 上发表了题为“Global weak solution of 3-D focusing energy- critical nonlinear Schrödinger equation”的研究论文。 能量临界非线性薛定谔方程的整体适定性与散射在过 去三十年中一直是非线性色散方程研究中的热门研究方向， 包括菲尔兹奖获得者 J.Bourgain 和陶哲轩，国际数学家大会 一小时报告人 C.Kenig 和 F.Merle 以及 R. Killip，G. Staffilanni， M. Visan 等多位国际数学家大会 45 分钟报告人对该问题进 行了深入的研究。研究团队证明了三维聚焦能量临界非线性 薛定谔方程的整体弱解存在性以及初值满足一定条件时解 的弱强唯一性。特别地，解决了法国国家科学研究中心 （CNRS）T. Cazenave 教授在 2003 年出版的非线性色散方程 领域重要专著《Semilinear Schrödinger Equations》中提出来 的一个难题。 在证明过程中，团队首先运用 C.Kenig 和 F.Merle 发展 的集中紧-刚性方法建立复值金兹堡-朗道方程的整体强解的 存在性。具体而言，团队通过线性轮廓分解刻画了有界序列 在H 1中的紧性缺失结构，构造出若整体适定性失败则必然存 在的临界元，并证明该临界元在伸缩和平移意义下具有预紧 性；随后利用复值金兹堡-朗道方程自身的耗散结构，结合小 能量正则性、倒向唯一性和唯一延拓性等抛物型方程正则性 工具，排除了临界元的存在，从而在能量低于基态且初值H 1 范数小于基态范数的条件下，证明了复值金兹堡-朗道方程整 体强解的二分性定理（整体存在与有限时间爆破）。在此基础 上，通过对复值金兹堡-朗道方程取无粘性极限，利用解的紧 性收敛和分布意义下的极限过渡，给出了三维聚焦能量临界 非线性薛定谔方程的整体弱解。 研究团队还运用能量方法给出聚焦能量临界非线性薛 定谔方程的弱强唯一性。通过引入强解与弱解的差函数，对 能量泛函进行精细展开，并利用变分估计和 Gronwall 不等式， 证明在初值H 1范数被一个依赖于基态 W 的常数控制时，弱解 与强解在H1范数下恒等，从而实现了弱解的唯一性。 值得指出的是，研究团队首次将抛物型方程的正则性理 论（例如小能量正则性、倒向唯一性和唯一延拓性等）应用 到复值金兹堡-朗道方程的刚性定理研究中。这些工具原本用 于 Navier-Stokes 方程等抛物系统，团队创造性地将其移植到 带耗散的色散方程，利用耗散效应来稳定解的性态，从而克 服了三维非径向情形下缺乏L2型空间紧性的根本困难。这一 方法突破为后续解决非线性色散方程的整体适定性与散射 理论中遗留的公开问题——三维聚焦能量临界复值非线性 薛定谔方程的整体适定性与散射提供了新的视角。 在上述论文的研究基础上，近两年，程星副教授与合作 者 们 在 Inverse Problems 、 Calc. Var. Partial Differential Equations、Acta Math. Sin. (Engl. Ser.) 等权威期刊发表论文， 围绕论文中研究的复值金兹堡-朗道方程进行了深入的研究。 程星与合作者们研究的非线性薛定谔方程和复值金兹堡-朗 道方程，不仅在数学上有重要的价值，同时也为我校关于水 污染演化、气象海啸的演化及预测技术等水利工程中重要科 学问题的研究提供数学理论支撑。 论文第一作者为云顶老虎机 和江苏省高校水系 统数学建模与智能计算重点实验室的程星副教授，合作者包 括山东大学数学与交叉科学研究中心郭常予教授、山东大学 云顶老虎机 郑云瑞副教授。该研究得到了江苏省自然科学基金 杰出青年项目（BK20230036）、国家自然科学基金长江联合 项目（U2340221）、国家重点研发项目（2022YFC3202602） 等项目的支持。 《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》1836 年 创刊，是数学领域世界上第二古老的国际数学期刊，由法国 著名数学家 Joseph Liouville 创办，该期刊是国际数学界声誉 卓著的重要期刊，致力于发表数学高水平研究成果。 

论文链接： //www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S002 1782426000930